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By Dr. rer. nat. Gerd Fischer (auth.)

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Dieser Band enthält Anwendungen der linearen Algebra auf geometrische Fragen. Ausgehend von affingen Unterräumen in Vektorräumen werden allgemeine affine Räume eingeführt, und es wird gezeigt, wie sich geometrische Probleme mit algebraischen Hilfsmitteln behandeln lassen. Ein Kapitel über lineare Optimierung befaßt sich mit Systemen linearer Ungleichungen. Mit Hilfe der elementaren Theorie konvexer Mengen kann guy die Optimierung eines linearen Funktionals auf die Lösung linearer Gleichungssysteme zurückführen. Anschließend wird der für praktische Anwendungen so wichtige Simplex-Algorithmus abgeleitet. Besonderer Wert wird dabei auf einen Einblick in die geometrischen Zusammenhänge gelegt. Durch den projektiven Abschluß affiner Räume enthält guy den angemessenen Rahmen für das Studium von Sätzen aus der klassischen Geometrie. Durch viele Zeichnungen, Beispiele und Übungsaufgaben wird versucht, das Lesers Liebe zur Geometrie zu vertiefen. Affine Geometrie - Konvexe Mengen und lineare Optimierung - Projektive Geometrie

Inhalt
Inhalt: Affine Geometrie - Konvexe Mengen und lineare Optimierung - Projektive Geometrie.

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28) Satz 1.. Für jeden Punkt p der Ellipse gilt d(p, F) + d(p, F') = 2a. 28 Beweis. Die zu beweisende Aussage bedeutet fiir p =(x, y) J(x - C)2 + y2 + J(x + C)2 + y2 = 2a. Indem man durch zweimaliges Quadrieren die Wurzeln beseitigt, ergibt sich daraus die Ellipsengleichung x2 y2 -+-=1. a2 b2 38 1. Affine Geometrie Übungsaufgabe 1. Man begründe die folgenden Konstruktionsverfahren flir eine Ellipse bei gegebenen Hauptachsen a und b. 29). 29 --- b) Man markiert auf einem Lineal die Punkte 0, a und a + b.

Bungsaufgabe 2. Man bestimme flir jeden der Punkte (2,5, - 1), (- 2,5,2), (- 5, 2, 5) E IR 3 28 1. 7. Gegeben seien affme Unterräume X, Y C Kn in Parameterdarstellung. Wir behandeln nun die Aufgabe, eine Parameterdarstellung für den Durchschnitt X ny zu berechnen. Seien also X=v+V, y=w+W mit Punkten v, w E Kn und Untervektorräumen V, W C Kn . A. h. Durch Lösung dieses Gleichungssystems erhält man die gesuchte Parameterdarstellung. Man hat also insgesamt drei lineare Gleichungssysteme zu lösen.

T n (Po» eine affme Basis von X. Damit ist gezeigt, daß es in jedem affinen Raum (endlicher Dimension) sehr viele affine Basen gibt. 2. Es ist die wichtigste Eigenschaft affiner Basen, daß man darauf einer affinen Abbildung die Bilder willkürlich vorschreiben kann. Satz. Seien affine Räume X und Y, sowie eine affine Basis (Po, ... ,Pn) von X und beliebige Punkte qo, ... , qn E Y gegeben. Dann gibt es genau eine affine Abbildung f: X ~ Y mit f(po) = qo, ... ,f(Pn) = qn Weiter gilt: a) f(X)=qov ...

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